几何五大模型之“燕尾模型”：两翼面积与底边线段比

在小学中高年级（五、六年级）的平面几何竞赛与小升初压轴题中，“几何五大模型”（等积变形模型、鸟头模型、梯形蝴蝶模型、燕尾模型、沙漏模型）是每一位冲刺名校学生必须拿下的核心武器。

如果说“蝴蝶模型”是梯形与沙漏的化身，那么“燕尾模型（Swallowtail Model）”就是普通任意三角形内比例转移的最强法宝！

很多孩子看到下面这幅图时常常感到无从下手：

在 $\triangle ABC$ 内部随便点了一个点 $O$，连结 $AO$ 延长交底边于 $D$，连结 $BO, CO$。图被切成了好几个互不规则的碎块，题目问 $BD:CD$ 和面积有什么关系？

今天，我们将带孩子像解剖一只飞燕一样，用“大等高、小等高、大减小”三步推导，彻底看懂燕尾模型的精妙算理！

一、为什么它叫“燕尾模型”？

观察图形中的色块分布：

                   A (鸟头)
                  / \
                 /   \
                /  O  \  (内心分点)
               /  / \  \
              /  /   \  \
             /  /     \  \
            B ─── D ─── C
            └─BD─┘└──CD──┘

• $\triangle ABO$：左侧展开的一只翅膀（左翼 $S_1$）；
• $\triangle ACO$：右侧展开的一只翅膀（右翼 $S_2$）；
• 中间 $AO$ 延长到 $D$：贯穿整只燕子身体与尾羽的分界脊梁骨；
• 这两只翅膀在图形下方叉开，活脱脱像一只展翅掠水的小燕子的分叉尾巴，因而得名燕尾模型！

燕尾模型黄金定理：

口诀：左翼比右翼，恒等底边比！

二、三步动画推导：为什么两翼之比等于底边比？

孩子最容易犯的错误是死记公式，一到考试把线段 $BD$ 和 $CD$ 跟哪只翅膀对应给记反了。只要掌握了下面的三步割补法，一辈子都不会记错！

第 1 步：大三角形共顶等高

把视线拉远，观察整座大三角形：

• 观察 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$；
• 它们共同拥有同一个顶点 $A$，它们的底边 $BD$ 和 $CD$ 在同一条直线 $BC$ 上；
• 从顶点 $A$ 到底边 $BC$ 作一条高线，这条高对两个三角形来说是完全相同的！
• 根据小学最基础的三角形面积公式（$S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$）：

第 2 步：底座小三角形共顶等高

现在把视线往下移，观察趴在底边上的小三角形：

• 观察 $\triangle OBD$ 和 $\triangle OCD$；
• 它们共同拥有同一个顶点 $O$，它们的底边依然是 $BD$ 和 $CD$；
• 从顶点 $O$ 到底边 $BC$ 作一条垂直高线，这条高对于 $\triangle OBD$ 和 $\triangle OCD$ 又是完全相同的！
• 再次得出：

第 3 步：大减小，燕尾现！（等比差性质）

现在把第 1 步的大三角形，减去第 2 步的小三角形：

• 左边大块减左边小块：

• 右边大块减右边小块：

根据分数的等比差性质：如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$，那么 $\frac{a - c}{b - d} = k$！
例如：$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$，那么 $\frac{6 - 2}{9 - 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$！

两式相减，底座小三角形被完整扣除，左右两翼的面积比依然纹丝不动：

推导完毕！优美至极！

三、三向燕尾：三角形的“奔驰连比”

很多家长和孩子不知道，燕尾定理不仅可以在底边用，在三角形的另外两条边上同样完全成立！

如果过点 $O$ 把三条线段全部引向三边：

• $AO$ 的延长线交 $BC$ 于 $D$；
• $BO$ 的延长线交 $AC$ 于 $E$；
• $CO$ 的延长线交 $AB$ 于 $F$。

内部点 $O$ 将整个大三角形平分成了三块“大扇叶”（就像奔驰汽车的车标）：

• 上左块：$S_{\triangle ABO}$
• 上右块：$S_{\triangle ACO}$
• 下方块：$S_{\triangle BCO}$

三条边上的分段比瞬间被三块面积锁死：

1. 底边分比：$\frac{BD}{CD} = \frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle ACO}}$（底边看上左右两翼）
2. 右边分比：$\frac{CE}{AE} = \frac{S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}}$（右边看下与左上两翼）
3. 左边分比：$\frac{AF}{BF} = \frac{S_{\triangle ACO}}{S_{\triangle BCO}}$（左边看右上与下两翼）

一旦掌握了三向燕尾，遇到小升初“已知边长比例求内部面积”或“已知面积求线段比”的大题，直接列连比，10 秒内口算秒杀！

四、小升初经典压轴真题实战

【真题】：
在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，且 $BD : CD = 2 : 3$；$E$ 在 $AC$ 上，且 $AE : CE = 1 : 2$。
$AD$ 与 $BE$ 相交于点 $O$。已知 $\triangle ABC$ 的总面积是 $60$。
求 $\triangle ABO$ 的面积。

秒杀思路（三向燕尾设未知数份数）：

1. 设三块核心燕尾的面积分别为：
   • $S_{\triangle ABO} = x$
   • $S_{\triangle BCO} = y$
   • $S_{\triangle ACO} = z$
2. 根据底边燕尾：$BD : CD = 2 : 3 \implies \frac{x}{z} = \frac{2}{3} \implies z = 1.5x$；
3. 根据右边燕尾：$AE : CE = 1 : 2 \implies \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$；
4. 三块面积加起来等于总面积 60：

答案轻松得出！无需作任何一条复杂的垂直高线，全靠面积份数代数消元搞定！

五、亲子互动 3 步走引导清单

1. 第一步（指认翅膀）：“宝贝，看这个三角形像不像一只小燕子？AO 是它的脊梁骨，左边的蓝翅膀叫 △ABO，右边的粉翅膀叫 △ACO。”
2. 第二步（大减小游戏）：“大三角形等高，底边比几比几，大三角形面积就几比几；把底下的小肚子剪掉，两只翅膀的面积比依然等于底边比！”
3. 第三步（口诀锁定）：“记住八字金句：‘左翼比右翼，等于底边比’！做题时找到分界线，两只翅膀直接对准底边线段！”